Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Không gian vecto

Nội dung text: Bài giảng Toán thời thượng - Chương 3: Không gian ngoan vecto - Nguyễn Phương

1. Chương 3: KHÔNG GIAN VECTƠ Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục đào tạo cơ bạn dạng Trường Đại học tập Ngân mặt hàng TP HCM Blog: Email: [email protected] Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 28 mon 10 năm trước đó 1
2. 1 Vectơ n-chiều 2 Không gian ngoan vectơ Tích vô phía Các định nghĩa 3 Tổ ăn ý tuyến tính Định nghĩa Liên hệ thân ái tổng hợp tuyến tính với HPT tuyến tính Sự dựa vào tuyến tính-độc lập tuyến tính 4 Hạng của hệ vectơ Định nghĩa Tính hóa học Tìm hạng của hệ vectơ tự hạng của ma mãnh trận 5 Không gian ngoan con cái Định nghĩa Thương hiệu và số chiều của không khí con cái Không gian ngoan sinh Không gian ngoan nghiệm của HPT tuyến tính thuần nhất 6 Tọa chừng vô không khí n-chiều Tọa chừng của một vectơ so với một hạ tầng Công thức thay đổi tọa chừng Một trong những hạ tầng 2
3. Vectơ n-chiều Định nghĩa Một vectơ n-chiều x là 1 trong cỗ n số thực sở hữu trật tự x = (x1, x2, , xn), xi R. Vectơ ko được kí hiệu là 0 = (0, 0, , 0). ∈ Định nghĩa Cho 2 vectơ x = (x1, x2, , xn), nó = (y1, y2, , yn) x = nó xi = yi, i 1, , n ⇔ ∀ ∈ { } x + nó = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) kx = (kx1, kx2, , kxn); k R ∈ Tổng quát tháo, tao có: ax + by = (ax1 + by1, ax2 + by2, , axn + byn) Ví dụ: Cho 2 vectơ x = (1, 2, 2), nó = ( 1, 3, 1), tao có: − − − x + nó = (0, 5, 3), 2x = ( 2, 4, 4) − − − − 2x 3y = (2, 4, 4) + (3, 9, 3) = (5, 5, 1) − − − 3
4. Vectơ n-chiều Tính hóa học (1) x + nó = nó + x Tính hóa học (2) x + nó + z = (x + y) + z = x + (y + z) Tính hóa học (3) x + 0 = x Tính hóa học (4) x + ( x) = 0 − 4
5. Vectơ n-chiều Tính hóa học (5) k(lx) = (kl)x Tính hóa học (6) (k + l)x = kx + lx Tính hóa học (7) k(x + y) = kx + ky Tính hóa học (8) 1.x = x 5
6. Không gian ngoan vectơ Định nghĩa (Không gian ngoan vectơ n-chiều) Tập ăn ý những vectơ n-chiều kiến tạo bên trên R được chuẩn bị 2 phép tắc toán bên trên được gọi là không khí vectơ Rn. Định nghĩa (Không gian ngoan Euclide n-chiều) Không gian ngoan Euclide Rn là không khí vectơ Rn được chuẩn bị thêm 1 tích vô vị trí hướng của 2 vectơ x = (x1, x2, , xn), nó = (y1, y2, , yn) được tấp tểnh nghĩa: x.nó = x1.y1 + x2.y2 + + xn.yn 6
7. Không gian ngoan vectơ Tích vô phía Với từng vectơ x, nó, z Rn, tao sở hữu ∈ Tính hóa học (1) x.nó = nó.x Tính hóa học (2) x. x 0 x. x =≥ 0 x = 0 ⇔ Tính hóa học (3) (x + y).z = x.z + nó.z Tính hóa học (4) x.(ky) = (kx).nó = k(x.y) 7
8. Không gian ngoan vectơ Các định nghĩa n Trong R mang đến x = (x1, x2, , xn), nó = (y1, y2, , yn) tao sở hữu Định nghĩa q 2 2 2 Độ lâu năm của x: x = √x.x = x + x + + xn || || 1 2 ··· Định nghĩa Khoảng cơ hội thân ái x, y: p p 2 2 2 x nó = (x y).(x y) = (x1 y1) + (x2 y2) + + (xn yn) || − || − − − − ··· − Định nghĩa x.nó Góc thân ái x và nó, kí hiệu (x,y): cos(x, y) = x nó || |||| || 8
9. Không gian ngoan vectơ Các định nghĩa Định nghĩa (Tính trực giao) x, nó trực gửi gắm nhau x.nó = 0 ⇔ Hệ vectơ u1, u2, , um là hệ trực gửi gắm ui.uj = 0, i , j 1, , m { } ⇔ ∀ ∈ { } Ví dụ: Trong R3 mang đến x = (3, 1, 2), nó = (1, 1, m). Xác tấp tểnh m nhằm x trực gửi gắm với nó. Giải − x trực gửi gắm với nó x.nó = 0 3 1 + 2m = 0 m = 1 ⇔ ⇔ − ⇔ − Định nghĩa (Tính trực chuẩn) Hệ vectơ u1, u2, , um là hệ trực chuẩn chỉnh { } ui.uj = 0 ui = 1, i , j 1, , m ⇔ ∧ || || ∀ ∈ { } Ví dụ: Trong R3 mang đến hệ vectơ x = (1, 0, 0), nó = (0, 1, 0), z = (0, 0, 1) . Nhận thấy { } x.nó = x.z = nó.z = 0 và x = nó = z = 1 || || || || || || Vậy: Hệ x, nó, z là hệ trực chuẩn chỉnh. { } 9
10. Tổ ăn ý tuyến tính Định nghĩa n Trong R mang đến hệ vectơ H = a1, a2, , am { } Định nghĩa Vectơ b được gọi là 1 trong tổng hợp tuyến tính của hệ H Tồn bên trên xj R, j = 1, m ⇔ ∈ sao mang đến b = x1a1 + x2a2 + + xmam ··· Ví dụ: 2 Trong R mang đến hệ vectơ H = a1 = (1, 1), a2 = (1, 0) . Vectơ b=(2,3) sở hữu nên là 1 trong tổng hợp tuyến tính của H{ hoặc không? Biểu diễn} b theo đuổi H nếu như được. Giải Giả sử b = x1a1 + x2a2, xi R. ∈ (2, 3) = x1(1, 1) + x2(1, 0) (2, 3) = (x1, x1) + (x2, 0) (2, 3) = (x1 + x2, x1) ⇔ ( ( ⇔ ⇔ x1 + x2 = 2 x1 = 3 b = 3a1 a2 ⇔ x1 = 3 ⇔ x2 = 1 ⇔ − − Vậy b là 1 trong tổng hợp tuyến tính của H. 10
11. Tổ ăn ý tuyến tính Liên hệ thân ái tổng hợp tuyến tính với HPT tuyến tính  a   1j     a2j  Giả sử aj = (a1j, a2j, , anj), b = (b1, b2, , bn). Ta kí hiệu Aj =   ,  .   .    anj  b   x   1   1       b2   x2  B =   và X =    .   .   .   .      bn xm Khi cơ b là 1 trong tổng hợp tuyến tính của hệ H x1a1 + x2a2 + + xmam = b sở hữu nghiệm ⇔ ··· x1A1 + x2A2 + + xmAm = B sở hữu nghiệm ⇔ ··· AX = B sở hữu nghiệm, với A = (A1A2 Am). ⇔ 11
12. Tổ ăn ý tuyến tính Liên hệ thân ái tổng hợp tuyến tính với HPT tuyến tính Ví dụ: Trong R3 mang đến u = (1, 1, 2), v = (1, 1, 1), w = ( 1, 3, 4). Cho biết x = (1, 3, 5) sở hữu nên là− một nhóm ăn ý tuyến− tính của− {u,v,w}− hoặc không? Hãy đã cho thấy một− cơ hội màn trình diễn của x theo đuổi u, v,w nếu như sở hữu. Giả sử x = au + bv + cw, a, b, c R. ∈ (1, 3, 5) = (a, a, 2a) + (b, b, b) + ( c, 3c, 4c) ⇔ − − − − − (1, 3, 5) = (a + b c, a + b 3c, 2a b + 4c) ⇔  − − − − −  a + b c = 1   a + b 3c− = 3  ⇔  − 2a b−+ 4c =−5 −  1 1 1 1   1 1 1 1      (A B) =  1 1 −3 3   0 2 −4 2      |  −2 1− 4 −5  −→  0 3− 6 −3  −→ − ! − 1 1 1 1 0 1 −2 1 − − ( a + b c = 1 Hệ tương tự Chọn c=0 tao được b=-1, a=2. b 2c− = 1 − − Vậy x = 2u v chứng minh x là 1 trong tổng hợp tuyến tính của u,v,w. − 12
13. Tổ ăn ý tuyến tính Sự dựa vào tuyến tính-độc lập tuyến tính n Trong R mang đến hệ vectơ H = a1, a2, , am { } Định nghĩa Hệ H là hệ dựa vào tuyến tính Tồn bên trên một vectơ aj H là tổng hợp tuyến tính của những vectơ còn sót lại. ⇔ ∈ Tồn bên trên xj , 0 : x1a1 + x2a2 + + xmam = 0 ⇔ AX=0 sở hữu nghiệm ko tầm thường··· với A được khái niệm phía trên. Ngược⇔ lại H là hệ song lập tuyến tính. 13
14. Tổ ăn ý tuyến tính Sự dựa vào tuyến tính-độc lập tuyến tính Ví dụ: Hệ H = a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1, 1, 1), a3 = (1, 1, 1, 1), { 4 − − − − a4 = (1, 1, 1, 1) vô R sở hữu song lập tuyến tính hoặc không? − − } Giải Giả sử x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 = 0, xi R AX = 0  1 1 1 1   1 1∈ 1⇔ 1       1 1 1 1   0 2 2 0  A =      1 −1− 1 1   0 −2− 0 2    −→   −→  1− 1 1 −1   0− 0 2 −2  − − − −  1 1 1 1   1 1 1 1       0 2 2 0   0 2 2 0       0− 0− 2 2   0− 0− 2 2    −→    0 0 2 −2   0 0 0 −4  − − − Hệ phương trình chỉ mất nghiệm tầm thông thường (x1, x2, x3, x4) = (0, 0, 0, 0). ⇒Vậy: Hệ H là hệ song lập tuyến tính. 14
15. Tổ ăn ý tuyến tính Sự dựa vào tuyến tính-độc lập tuyến tính Ví dụ: 3 Hệ H = a1 = ( 1, 2, 1), a2 = (1, 1, 2), a3 = (0, 3, 1) vô R song lập hoặc phụ thuộc{ tuyến− tính? Nếu hệ phụ− nằm trong tuyến tính− } hãy thám thính một phương trình màn trình diễn sự dựa vào cơ. Giải Giả sử x1a1 + x2a2 + x3a3 = 0, xi R AX = 0  1 1 0   1∈ 1⇔ 0  !     1 1 0 A =  −2 1 3   −0 3 3      −0 1 1  1 2 1  −→  0 1 1  −→ − − ( − − x1 + x2 = 0 Hệ phương trình tương tự − x2 + x3 = 0 Chọn x2 = 1 x1 = 1, x3 = 1 ⇒ − Hệ H là hệ dựa vào tuyến tính. Một phương trình màn trình diễn sự dựa vào ⇒ này đó là a1 + a2 a3 = 0 − 15
16. Tổ ăn ý tuyến tính Sự dựa vào tuyến tính-độc lập tuyến tính Tính hóa học (1) Hệ sở hữu chứa chấp vectơ ko là hệ dựa vào tuyến tính. Tính hóa học (2) Hệ sở hữu chứa chấp 2 vectơ tỉ lệ thành phần là hệ dựa vào tuyến tính. Tính hóa học (3) Một hệ sở hữu số vectơ nhiều hơn thế số chiều luôn luôn là hệ dựa vào tuyến tính. Tính hóa học (4) Hệ vectơ sở hữu một hệ con cái dựa vào tuyến tính thì nó dựa vào tuyến tính. Hệ song lập tuyến tính thì từng hệ con cái của chính nó đều song lập tuyến tính. 16
17. Hạng của hệ vectơ Định nghĩa n Trong R mang đến hệ vectơ H = a1, a2, , am { } Định nghĩa Hạng của H, kí hiệu là rank(H), là số vectơ song lập tuyến tính tối nhiều của hệ. Mọi hệ con cái sở hữu nhiều hơn thế rankH vectơ đều là hệ dựa vào tuyến tính. Hệ sở hữu toàn vectơ ko được quy ước sở hữu hạng tự 0. Ví dụ: Tìm hạng của hệ vectơ: H = a1 = (1, 3, 2) , a2 = (0, 4, 0) , a3 = ( 1, 2, 4) . − − − − Giải: Ta có: a2 = 2a1 + a3 nên a1, a2, a3 dựa vào tuyến tính. Mặt không giống a1, a3 song lập tuyến tính. Vậy rankH = 2 17
18. Hạng của hệ vectơ Tính hóa học Tính hóa học (1) Mọi vectơ của hệ H đều là 1 trong tổng hợp tuyến tính của một hệ song lập tuyến tính sở hữu rankH > 0 vectơ. Tính hóa học (2) Hạng của hệ vectơ ko thay đổi nếu như tao thêm nữa hệ một vectơ là tổng hợp tuyến tính của những vectơ của hệ. Tính hóa học (3) Hạng của hệ vectơ ko thay đổi nếu như tao ít hơn một vectơ là tổng hợp tuyến tính của những vectơ còn sót lại của hệ. Tính hóa học (4) n Trong R mang đến 2 hệ H = a1, a2, , am ,F = b1, b2, , bk . Nếu aj là 1 trong tổng hợp tuyến tính của hệ F{( j 1, , m} ) thì{ rankH rankF.} ∀ ∈ { } ≤ 18
19. Hạng của hệ vectơ Tìm hạng của hệ vectơ tự hạng của ma mãnh trận Định lý  a a a   11 12 1n     a21 a22 a2n  Cho A =    . . .   . . . .    am1 am2 amn Khi cơ hạng của A tự hạng của hệ vectơ dòng/cột của A. Nghĩa là gọi D = (a11, a12, , a1n), (a21, a22, , a2n), , (am1, am2, , amn) { } và C = (a11, a21, , am1), (a12, a22, , am2), , (a1n, a2n, , amn) thì rankA=rankD=rankC.{ } Vì vậy, Khi tao cần thiết thám thính hạng của một hệ vec tơ tao thám thính hạng của ma mãnh trận những dòng/cột được lập kể từ những vectơ này. Ví dụ: Trong R4 mang đến H = u = (1, 2, 1, 0), v = (2, 3, 2, 1), w = (3, 1, 3, 1) . { − − − } Tìm rankH. Giải Ta sở hữu  1 2 1 0   1 2 1 0   1 2 1 0        A =  2− 3 2 1   0− 7 0 1   0− 7 0 1  = B        3 1 3 −1  −→  0 7 0 −1  −→  0 0 0− 0  − − Vậy rankH = rankA = rankB = 2. 19
20. Hạng của hệ vectơ Tìm hạng của hệ vectơ tự hạng của ma mãnh trận Tính hóa học (1) Hạng của hệ ngay số vectơ của hệ Hệ song lập tuyến tính. ⇔ Hạng của hệ nhỏ rộng lớn số vectơ của hệ Hệ dựa vào tuyến tính. ⇔ Tính hóa học (2) Cho hệ H sở hữu số vectơ ngay số chiều (m=n): rankH = n detA , 0 ⇔ rankH < n detA = 0 ⇔ 20
21. Không gian ngoan con cái Định nghĩa Định nghĩa Xét L Rn. L là 1 trong không khí con cái của Rn   L⊆  ,  x, y∅ L x + nó L  ⇔  ∀x L∈, k⇒R kx∈ L ( ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ 0 L ∈ ⇔ x, nó L, k R x + ky L ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ Lưu ý: Nếu L là 1 trong không khí con cái của Rn thì 0 L. ∈ Do cơ, nếu như 0 < L thì L ko nên là không khí con cái của Rn. Ví dụ: Cho biết tập luyện này sau đó là một không khí con cái của R2. 2 1 L1 = x R : x = (a, 2 + 3a), a R { ∈ 2 ∈ } 2 L2 = x R : x = (a, 3a), a R { ∈ ∈ } Giải 2 1 Nhận thấy 0 = (0, 0) < L1. Do cơ L1 ko nên là không khí con cái của R . 2 Ta sở hữu 0 = (0, 0) L2. x, nó L2, k R. Giả sử x = (a, 3a), nó = (b, 3b) tao ∈ ∀ ∈ ∈ 2 sở hữu x + ky = (a + kb, 3a + 3kb) L2 L2 là 1 trong không khí con cái của R . ∈ ⇒ 21
22. Không gian ngoan con cái Thương hiệu và số chiều của không khí con cái Định nghĩa n Hệ H = a1, a2, , am là 1 trong hạ tầng của không khí L của R ( H là{ hệ song lập tuyến} tính ⇔ Mọi vectơ vô L đều là 1 trong tổng hợp tuyến tính của H Lưu ý: 1 Số vectơ vô một hạ tầng của L ko vượt lên trước vượt n. 2 Số vectơ trong số hạ tầng của L luôn luôn đều nhau. Định nghĩa Số vectơ vô một hạ tầng của không khí L được gọi là số chiều của L, kí hiệu là dimL. Tính hóa học (1) Nếu dimL = r thì từng hệ sở hữu r vectơ song lập tuyến tính của L đều là hạ tầng của L. 22
23. Không gian ngoan con cái Thương hiệu và số chiều của không khí con cái Tính hóa học (2) Trong Rn, từng hệ sở hữu n vectơ song lập tuyến tính đều là hạ tầng của Rn. Hệ En = e1, e2, , en với e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , { } n en = (0, 0, , 1) được gọi là hạ tầng chủ yếu tắc của R . Tính hóa học (3) Mọi vectơ của L đều là 1 trong tổng hợp tuyến tính độc nhất qua quýt những vectơ trong những hạ tầng của L. 2 2 Ví dụ: L2 = x R : x = (a, 3a), a R là 1 trong không khí con cái của R . { ∈ ∈ } Ta sở hữu x L2 : x = (a, 3a) = a(1, 3). ∀ ∈ Vậy từng vectơ x L2 đều là tổng hợp tuyến tính của hệ {(1,3)} song lập tuyến ∈ tính nên {(1,3)} là 1 trong hạ tầng của L2 và dimL2 = 1. Ví dụ:Cho biết L = x R2 : x = (a + b, 2a b), a, b R là 1 trong không khí { ∈ − ∈ } con cái của R2. Tìm một hạ tầng của L và xác lập dimL. Ta sở hữu x L : x = (a + b, 2a b) = a(1, 2) + b(1, 1). suy ra∀ mọi∈ vectơ x L đều là− tổng hợp tuyến tính của− hệ {(1,2),(1,-1)} song lập ∈ tuyến tính. Vậy {(1,2),(1,-1)} là 1 trong hạ tầng của L và dimL = 2. 23
24. Không gian ngoan con cái Không gian ngoan sinh Định nghĩa (Không gian ngoan sinh) n Trong R mang đến hệ H = a1, a2, , am . Không gian ngoan sinh tự H, được kí hiệu là { n } Span(H): SpanH = x R : x = x1a1 + x2a2 + + xmam, xi R { ∈ ··· ∈ } Định lý SpanH là 1 trong không khí con cái của Rn sở hữu dim(SpanH) = rankH. Bài toán 1: n Trong R mang đến hệ H = a1, a2, , am . Hãy thám thính một hạ tầng và số chiều của SpanH. { } Phương pháp giải 1 Lập ma mãnh trận A sở hữu hệ vectơ dòng sản phẩm là H. 2 Dùng những phép tắc chuyển đổi sơ cung cấp bên trên dòng sản phẩm chuyển đổi A về dạng bậc thang theo đuổi dòng sản phẩm B. 3 Hệ những vectơ dòng sản phẩm không giống ko của B là 1 trong hạ tầng của SpanH. 24
25. Không gian ngoan con cái Không gian ngoan sinh Ví dụ: 4 Trong R mang đến hệ H = a1 = ( 2, 4, 2, 4), a2 = (2, 5, 3, 1), a3 = ( 1, 3, 4, 1) . Hãy thám thính một hạ tầng và{ số chiều− của− SpanH.− − − − }      a3   1 3 4 1     −  Xét A =  a2  =  2 5 3 1     − −  a1 2 4 2 4  1 3 4− 1  − 1− 3 4 1   1 3 4 1         −2 5 3 1   −0 1 5 3   −0 1 5 3        −→  0 −1 −5 3  −→  0 1 5 3  −→  0 0 0 0  − − − − − − Vậy: Một hạ tầng của SpanH là ( 1, 3, 4, 1), (0, 1, 5, 3) và dimSpanH=2. { − } 25
26. Không gian ngoan con cái Không gian ngoan sinh Bài toán 2: n Trong R mang đến hệ H = a1, a2, , am . Tìm ĐK nhằm x SpanH. { } ∈ Phương pháp giải 1 x SpanH x là 1 trong tổng hợp tuyến tính của H. ∈ ⇔ 2 Nếu tao sở hữu F = b1, b2, , bk là 1 trong hạ tầng của SpanH, Khi cơ { } x SpanH x là 1 trong tổng hợp tuyến tính của F. ∈ 3⇔ Ví dụ: Trong R mang đến hệ H = a1 = (1, 2, 4), a2 = (2, 1, 1), a3 = ( 3, 1, 3) . { − − − − } Hãy thám thính m nhằm b = ( 1, 3, m) SpanH . − ∈  1 2 3 1    Xét A = a a a b = (A B) =  2 1 −1 −3  1 2 3   |  4− 1− 3 m   1 2 3 1   1 2 − 3 1       0 5− 5 −5   0 1− 1 −1      −→  0− 9 9 m 4  −→  0− 9 9 m 4   1 2 −3 −1  − −    0 1− 1 −1    −→  0− 0 0 m + 5  Ta sở hữu rankA = 2. Nên b SpanH rankA = 2 m + 5 = 0 m = 5. ∈ ⇔ 26 ⇔ ⇔ −
27. Không gian ngoan con cái Không gian ngoan nghiệm của HPT tuyến tính thuần nhất Cho hpttt thuần nhất AX = 0. Không gian ngoan nghiệm của hệ là n L = x = (x1, x2, , xn) R : AX = 0 { ∈ } Định lý rankA = r dimL = n r ⇔ − Định nghĩa Mỗi hạ tầng của không khí nghiệm L được gọi là 1 trong hệ nghiệm cơ bạn dạng của hệ. 27
28. Không gian ngoan con cái Không gian ngoan nghiệm của HPT tuyến tính thuần nhất Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát tháo và một hệ nghiệm cơ bạn dạng của hệ   x1 + 2x2 x3 + x4 = 0  −  2x1 + 4x2 3x3 = 0  −  x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 0  1 2 1 1   1 2 1 1  !     1 2 1 1 Ta sở hữu A =  2 4 −3 0   0 0 −1 2      0 0− 1 2  1 2− 1 5  −→  0 0− 2− 4  −→ −→ ! 1 2 0 3 0 0 1 2 ( ( x1 + 2x2 + 3x4 = 0 x1 = 2x2 3x4 Hệ − − ⇔ x3 + 2x4 = 0 ⇔ x3 = 2x4 − Nghiệm tổng quát tháo của hệ là ( 2a 3b, a, 2b, b), a, b R − − − ∈ Không gian ngoan nghiệm L = x = ( 2a 3b, a, 2b, b), a, b R = { − − − ∈ } x = a( 2, 1, 0, 0) + b( 3, 0, 2, 1), a, b R { − − − ∈ } L = Span ( 2, 1, 0, 0), ( 3, 0, 2, 1) . ⇒ { − − − } Vậy một hệ nghiệm cơ bạn dạng của hệ là ( 2, 1, 0, 0), ( 3, 0, 2, 1) . { − − − } 28
29. Tọa chừng vô không khí n-chiều Tọa chừng của một vectơ so với một hạ tầng Định nghĩa n Cho H = a1, a2, , an là 1 trong hạ tầng của R { } n (x1, x2, , xn) được gọi là tọa chừng của x R so với hạ tầng H ∈ ⇔ x = x1a1 + x2a2 + + xnan. Kí hiệu: x H = (x1, x2, , xn). |   x1    x2  T   Ta kí hiệu (x ) = x1 x2 xn và (x ) =   H H  .  | |  .    xn Trong Rn : x = (x1, x2, , xn) = x1e1 + x2e2 + + xnen x E = (x1, x2, , xn) ··· ⇒ | n 29
30. Tọa chừng vô không khí n-chiều Tọa chừng của một vectơ so với một hạ tầng Ví dụ: a. Chứng tỏ H = a1 = (1, 2, 1), a2 = (1, 3, 1), a3 = (2, 3, 1) là 1 trong hạ tầng của R3. { − } b. Cho x = ( 2, 1, 7). Tìm x H. − | Giải      a1   1 2 1      a. Xét A =  a2  =  1 3 1      a3 2 3 1 − 1 2 1 A = 1 3 1 = 3 + 4 + 3 6 + 2 3 = 3 , 0 ⇒ | | − − − − 2 3 1 − Vậy: H là hệ song lập tuyến tính đpcm. ⇒   x1 + x2 + 2x3 = 2  − b. Giả sử x = x1a1 + x2a2 + x3a3. Từ cơ tao được hệ  2x1 + 3x2 + 3x3 = 1   x1 + x2 x3 = 7 − Giải hệ này tao được (x1, x2, x3) = (2, 2, 3) − Vậy x H = (2, 2, 3). | − 30
31. Tọa chừng vô không khí n-chiều Công thức thay đổi tọa chừng Một trong những hạ tầng Định nghĩa (Ma trận chuyển) n Cho A = a1, a2, , an và B = b1, b2, , bn là nhì hạ tầng của R { } { } B Ma trận fake hạ tầng kể từ A lịch sự B được kí hiệu là PA, là ma mãnh trận thỏa T B T n (x A) = P.. .(x B) , x R . | A | ∀ ∈ Định lý (Cách xác lập ma mãnh trận chuyển) B Giả sử bi A = (b1i, b2i, , bni). Khi cơ P.. = (b1 A b2 A bn A). | A | | ··· | Tính hóa học Nếu P.. là ma mãnh trận fake hạ tầng kể từ A lịch sự B thì 1 P.. khả nghịch ngợm. 1 2 P− là ma mãnh trận fake hạ tầng kể từ B lịch sự A. 31
32. Tọa chừng vô không khí n-chiều Công thức thay đổi tọa chừng Một trong những hạ tầng Ví dụ: Cho E3,A = a1 = (1, 1, 1), a2 = (0, 1, 2), a3 = (0, 0, 1) và { − } 3 B = b1 = (1, 1, 1), b2 = (2, 3, 1), b3 = (1, 2, 1) là những hạ tầng của R . { − } a. Tìm ma mãnh trận fake hạ tầng kể từ E3 lịch sự A và ngược lại. b. Tìm ma mãnh trận fake hạ tầng kể từ A lịch sự B. c. Cho biết x B = ( 2, 1, 3). Hãy xác lập x A và x E . | − | | 3 Giải a. Ta sở hữu a1 E3 = (1, 1, 1), a2 E3 = (0, 1, 2), a3 E3 = (0, 0, 1). | 1 0− 0  | |   Nên PA =  1 1 0  = P.. E3    1 2 1  −  1 0 0    Từ cơ tao được PE3 = P.. 1 =  1 1 0  A −    −3 2 1  − 32
33. Tọa chừng vô không khí n-chiều Công thức thay đổi tọa chừng Một trong những hạ tầng   x1 = 1  b. Giả sử b1 = x1a1 + x2a2 + x3a3  x1 + x2 = 1 ⇔  −  x1 + 2x2 + x3 = 1  −  x1 = 1   x2 = 2 b1 A = (1, 2, 6) ⇔  − ⇒ | −  x3 = 6 Tương tự động tao được b2 A = (2, 1, 1), b3 A = (1, 1, 0) | |  1 2 1    Vậy ma mãnh trận fake hạ tầng kể từ A lịch sự B là PB =  2 1 1  c. Ta sở hữu A    −6 1 0  T B T x B = ( 2, 1, 3). Mà (x A) = PA.(x B) | −  1 2| 1   2  |  3        (x )T =  2 1 1   −1  =  8  A   .     ⇒ |  −6 1 0   3   11  − Vậy x A = (3, 8, 11) | −        1 0 0   3   3  T A T       Tương tự động tao được (x E ) = P.. .(x A) =  1 1 0  .  8  =  11 . 3 E3       | |  1 2 1   11   2  − − Vậy x E = (3, 11, 2) | 3 33